すぐかける数学記事おもいついたのでそれで
前提：
- 大会で相手が選ぶ、キャラ・構築の分布がある程度わかっている
- 1勝の価値が常に等しい（トーナメントなど）
- 増分が適宜変化するレートなどの戦略ではない
- 自分が環境に存在するキャラ・構築に対して、それぞれにどの程度厚くして、トレードオフで薄くするか裁量がある
- もっというと、勝率数列{p_i}_{1<=i<=N} があり、それを任意の形に並べ替えた勝率数列{q_i}_{1<=i<=N} があり、}環境のキャラiに対して勝率q_i を対応させるようなキャラ選択が出来る
キャラNの確率分布を{x_i}_{1<= i <= N} とすると、勝率期待値は
sum_{1<=i <=N} }( q_i * x_i )
となる。これは、{x_i}_{1<=i<=N} を降順に並べ替えた数列を{y_i} , {p_i} を降順に並べ替えた数列を{r_i} とすると、
sum_{1<=i <=N} }( r_i * y_i )
で最大値をとる。つまり、数が多いキャラ・構築に厚くして、数が少ないものには薄くしたときが、勝率期待値が最大となる
証明 : [補題] a<b , c<d ならば ac+bd > ad+ bc を示す.
左辺 - 右辺 = a(c-d)+b(d-c) = (b-a)(d-c) なのでこれは成り立つ
[証明]まず、{q_i} は {p_i] の並べ替えなので高々 N! 通りしかないので、有限通りしかとらず、最大値が必ず存在することに注意する。
背理法で示す。最大値をとる数列を{s_i} として、これが{r_i} と{x_i}への対応が異なると仮定したときに矛盾が起きることを示す
このとき、s_a < s_b , x_a>x_b となる部分が存在することになるが、この場合はs_a と s_b を入れ替えた方が勝率期待値が高くなることが補題より示されるので、矛盾する。
以上より示された。
示した補題は、チェビシェフの不等式の証明に用いる補題の有名なものであり、加えて競プロでもたまに出てくるので、数学全然知らなくても知ってる人もちょいちょいいる補題である。
今回の結論
仮定がかなり厳しいので一般的かどうかの保証はしかねるが、基本的には数が多いキャラ・構築に強くして、数が少ないキャラ・構築に薄くした方が勝率期待値が高くなることが、数学的に示唆される
続き
